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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f′′(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f′′(x)=0有实数解x,则称点(x,f(x))为函数y=f(x)的“拐点”.现已知f(x)=x3-3x2+2x-2,请解答下列问题:
(Ⅰ)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(Ⅱ)求证f(x)的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明);
(Ⅲ)若另一个三次函数G(x)的“拐点”为B(0,1),且一次项系数为0,当x1>0,x2>0(x1≠x2)时,试比较的大小.
【答案】分析:(1)先求f′(x)得解析式,再求f″(x),由f″(x)=0 求得拐点的横坐标,代入函数解析式求拐点的坐标.
解答:解:(1)f′(x)=3x2-6x+2…(1分)f″(x)=6x-6令f″(x)=6x-6=0得x=1…(2分)f(1)=13-3+2-2=-2∴拐点A(1,-2)…(3分)
(2)设P(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,则y=x3-3x2+2x-2,因为P(x,y)关于A(1,-2)的对称点为P'(2-x,-4-y),
把P'代入y=f(x)得左边=-4-y=-x3+3x2-2x-2
右边=(2-x3-3(2-x2+2(2-x)-2=-x3+3x2-2x-2∴右边=右边∴P′(2-x,-4-y)在y=f(x)图象上∴y=f(x)关于A对称        …(7分)
结论:①任何三次函数的拐点,都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”(写出其中之一)…(9分)
(3)设G(x)=ax3+bx2+d,则G(0)=d=1…(10分)∴G(x)=ax3+bx2+1,G'(x)=3ax2+2bx,G''(x)=6ax+2bG''(0)=2b=0,b=0,∴G(x)=ax3+1=0…(11分)
法一:======…(13分)
当a>0时,
当a<0时,…(14分)
法二:G′′(x)=3ax,当a>0时,且x>0时,G′′(x)>0,∴G(x)在(0,+∞)为凹函数,∴…(13分)
当a<0时,G′′(x)<0,∴G(x)在(0,+∞)为凸函数∴…(14分)
点评:本题考查一阶导数、二阶导数的求法,函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件.属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定义:(1)设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”;
定义:(2)设x0为常数,若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,请回答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标
 

(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•昌平区二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
,请你根据上面探究结果,解答以下问题
(1)函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心为
1
2
,1)
1
2
,1)

(2)计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)
+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•房山区二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,则该函数的对称中心为
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f''(x)是函数y=f(x)的导数f′(x)的导数,若方程f''(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心”,且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件.
(1).函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为
(1,2)
(1,2)

(2).若函数g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
,则g(
1
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)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
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2013
)
=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•安庆三模)对于三次函数f(x)-ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设ft(x)是函数y=f(x)的导数,ftt(x)是函数ft的导数,若方程ftt(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个一元三次函数都有“拐点”;且该“拐点”也为该函数的对称中心.若f(x)=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1,则f(
1
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)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)=(  )

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