Question

14．对于数列{a_n}，如果存在正整数k，使得a_n-k+a_n+k=2a_n，对于一切n∈N^*，n＞k都成立，则称数列{a_n}为k-等差数列．
（1）若数列{a_n}为2-等差数列，且前四项分别为2，-1，4，-3，求a₈+a₉的值；
（2）若{a_n}是3-等差数列，且a_n=-n+sinωn（ω为常数），求ω的值，并求当ω取最小正值时数列{a_n}的前3n项和S_3n；
（3）若{a_n}既是2-等差数列，又是3-等差数列，证明{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）由新定义结合已知求出a₈、a₉的值，则a₈+a₉的值可求；
（2）由a_n=-n+sinωn，且{a_n}是3-等差数列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分组求和求得S_3n；
（3）根据2-等差数列和3-等差数列的定义结合等差数列的定义进行证明．

解答 （1）解：由数列{a_n}为2-等差数列，且前四项分别为2，-1，4，-3，
∴a₈=a₂+3（a₄-a₂）=-1+3×（-2）=-7，
a₉=a₁+4×（a₃-a₁）=2+4×2=10，
∴a₈+a₉=-7+10=3；
（2）∵{a_n}是3-等差数列，a_n+3+a_n-3=2a_n，
∵a_n=-n+sinωn，
∴-（n-3）+sin（ωn-3ω）-（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（-n+sinωn），（n∈N^*），
即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn-3ω）=2sinωncos3ω（n∈N^*），
∴sinωn=0，或cos3ω=1．
由sinωn=0对n∈N^*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．
由cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），
即ω=$\frac{2kπ}{3}$，k∈Z，
这是ω的值为ω=kπ或$\frac{2kπ}{3}$，k∈Z，
∴ω最小正值等于$\frac{2π}{3}$，此时a_n=-n+sin$\frac{2nπ}{3}$，
∵sin$\frac{2（3n-2）π}{3}$+sin$\frac{2（3n-1）π}{3}$+sin$\frac{2×3nπ}{3}$=0，（n∈N^*），
∴a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-3（3n-1）（n∈N^*）．
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=$\frac{n[-6-3（3n-1）]}{2}$=-$\frac{3n（3n+1）}{2}$
（3）证明：若{a_n}为2-等差数列，即a_n+2+a_n-2=2a_n，
则{a_2n-1}，{a_2n}均成等差数列，
设等差数列{a_2n-1}，{a_2n}的公差分别为d₁，d₂．
{a_n}为3-等差数列，即a_n+3+a_n-3=2a_n，
则{a_3n-2}成等差数列，设公差为D，
a₁，a₇既是{a_2n-1}中的项，也是{a_3n-2}中的项，
a₇-a₁=3d₁=2D．
a₄，a₁₀既是中{a_2n}的项，也是{a_3n-2}中的项，
a₁₀-a₄=3d₂=2D∴3d₁=3d₂=2D．
设d₁=d₂=2d，则D=3d．
∴a_2n-1=a₁+（n-1）d₁=a₁+（2n-2）d（n∈N^*），
a_2n=a₂+（n-1）d₂=a₂+（2n-2）d，（n∈N^*）．
又a₄=a₁+D=a₁+3d，a₄=a₂+d₂=a₂+2d，
∴a₂=a₁+d，
∴a_2n=a₁+（2n-1）d（n∈N^*）．
综合得：a_n=a₁+（n-1）d，
∴{a_n}为等差数列．

点评 本题主要考查与等差数列有关的新定义，结合条件以及等差数列的性质，考查学生的运算和推理能力，综合性较强．