Question

已知函数.
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在上单调减，且在上单调增，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，若，函数的切线中总存在一条切线与函数在处的切线垂直，求的最小值.

Answer 1

解：（I）由已知，，所以，
所以函数在处的切线方程为
（II）解1:①当时，，满足在上，且在上，所以当时满足题意；
②当时，是恒过点，开口向下且对称轴的抛物线，由二次函数图象分析可得在上，且在上的充要条件是 解得，即
综上讨论可得
解2：由已知可得在上，且在上，
即在上成立且在成立；
因为在上，在上
所以
（III）当时，
由题意可得，总存在使得成立，即
成立，因为，当时，
，所以，解得
所以的最小值为

略