Question

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值是-5，其导函数的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[

1

e

，e]都有f（x）≥x³-3lnx+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图象可知：导函数在x=-3和x=1处函数值为0，原函数在x=1处取到极小值-5，转化为方程组即可解到a、b、c的值，可知函数解析式；
（Ⅱ）f（x）≥x³-3lnx+m对任意的x∈[

1

e

，e]都恒成立，?m≤3x²-9x+3lnx对任意的x∈[

1

e

，e]都恒成立，故只需m小于等于3x²-9x+3lnx在x∈[

1

e

，e]的最小值，然后用导数法求函数在闭区间的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
由图象可知：导函数在x=-3和x=1处函数值为0，原函数在x=1处取到极小值-5，
故

f′(-3)=27a-6b+c=0 f′(1)=3a+2b+c=0 f(1)=a+b+c=-5

解此方程组得a=1，b=3，c=-9．
∴f（x）=x³+3x²-9x．…（5分）
（Ⅱ）由题意f（x）≥x³-3lnx+m对任意的x∈[

1

e

，e]都恒成立，?m≤3x²-9x+3lnx对任意的x∈[

1

e

，e]都恒成立，
故只需m小于等于3x²-9x+3lnx在x∈[

1

e

，e]的最小值．
令?（x）=3x²-9x+3lnx，x∈[

1

e

，e]，则?′(x)=6x-9+

3

x

=

6x2-9x+3

x

=

3(2x-1)(x-1)

x

，
令?'（x）=0，解得x1=

1

2

，x₂=1，当x变化时，?（x），?'（x）的变化情况如下表：

x		( 1 e ， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，e）	e
?'（x）		+	0	-	0	+
?（x）	φ( 1 e )		极大值		极小值-6		?（e）

∵?(

1

e

)=

3

e2

-

9

e

-3＞-6=?(1)，∴?（x）在x=1处取得x∈[

1

e

，e]的最小值?（1）=-6，∴m≤-6．
故m的取值范围为：m≤-6  …（12分）

点评：本题为导数的综合应用，涉及解三元一次方程组和导数法求闭区间的最值，属难题．