Question

若给定椭圆C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x₀，y₀），则称直线l：ax₀x+by₀y=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x₀，y₀）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x₀，y₀）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x₀，y₀）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设

MA

=λ1

AN

，

MB

=λ2

BN

，问λ₁+λ₂是否为定值？说明理由．

Answer 1

分析：（1）

ax2+by2=1 ax0x+by0y=1

⇒(aby02+a2x02)x2-2ax0x+1-by02=0，由根的差别式能得到l与椭圆C相切．
（2）逆命题：若直线l：ax₀x+by₀y=1与椭圆C相交，则点N（x₀，y₀）在椭圆C的外部．是真命题．联立方程得（aby₀²+a²x₀²）x²-2ax₀x+1-by₀²=0．由△=4a²x₀²-4a（by₀²+ax₀²）（1-by₀²）＞0，能求出N（x₀，y₀）在椭圆C的外部．
（3）此时l与椭圆相离，设M（x₁，y₁），A（x，y）则

x= x1+λ1x0 1+λ1 y= y1+λ1y0 1+λ1

代入椭圆C：ax²+by²=1，利用M在l上，得（ax₀²+by₀²-1）λ₁²+ax₁²+by₁²-1=0．由此能求出λ₁+λ₂=0．

解答：解：（1）

ax2+by2=1 ax0x+by0y=1

⇒(aby02+a2x02)x2-2ax0x+1-by02=0
即ax²-2ax₀x+ax₀²=0
∴△=4a²x₀²-4a²x₀²=0
∴l与椭圆C相切．
（2）逆命题：若直线l：ax₀x+by₀y=1与椭圆C相交，则点N（x₀，y₀）在椭圆C的外部．
是真命题．联立方程得（aby₀²+a²x₀²）x²-2ax₀x+1-by₀²=0
则△=4a²x₀²-4a（by₀²+ax₀²）（1-by₀²）＞0
∴ax₀²-by₀²+b²y₀⁴-ax₀²+abx₀²y₀²＞0
∴by₀²+ax₀²＞1
∴N（x₀，y₀）在椭圆C的外部．
（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x₁，y₁），A（x，y）
则

x= x1+λ1x0 1+λ1 y= y1+λ1y0 1+λ1

代入椭圆C：ax²+by²=1，利用M在l上，
即ax₀x₁+by₀y₁=1，整理得（ax₀²+by₀²-1）λ₁²+ax₁²+by₁²-1=0
同理得关于λ₂的方程，类似．
即λ₁、λ₂是（ax₀²+by₀²-1）λ²+ax₁²+by₁²-1=0的两根
∴λ₁+λ₂=0．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．