Question

8．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$a=2csinA．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{7}$，a+b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0求出sinC的值，由C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由C的度数求出sinC与cosC的值，利用余弦定理列出a与b的关系式，将已知a+b=5两边平方，整理得到另一个关系式，联立两式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答 解：（1）由正弦定理有：$\sqrt{3}$sinA=2sinAsinC，又sinA≠0，即sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵在锐角△ABC中，∠C为锐角，
则∠C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosC=$\frac{1}{2}$，c=$\sqrt{7}$，a+b=5，
∴由余弦定理及已知条件得c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=7…①，
由a+b=5平方可，化简得：a²+b²=25-2ab…②，
联立①②可得ab=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{6\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．