分析 (1)利用正弦定理化简已知的等式,根据sinA不为0求出sinC的值,由C为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数;
(2)由C的度数求出sinC与cosC的值,利用余弦定理列出a与b的关系式,将已知a+b=5两边平方,整理得到另一个关系式,联立两式求出ab的值,再由sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
解答 解:(1)由正弦定理有:$\sqrt{3}$sinA=2sinAsinC,又sinA≠0,即sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵在锐角△ABC中,∠C为锐角,
则∠C=$\frac{π}{3}$.
(2)∵sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,cosC=$\frac{1}{2}$,c=$\sqrt{7}$,a+b=5,
∴由余弦定理及已知条件得c2=a2+b2-2abcosC,即a2+b2-ab=7…①,
由a+b=5平方可,化简得:a2+b2=25-2ab…②,
联立①②可得ab=6,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{6\sqrt{3}}{4}$.
点评 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键,属于基本知识的考查.
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A. | 2009 | B. | 8 | C. | 2010 | D. | 2 |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | 2 | D. | -2 |
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