练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设a，b均为正数，
    （Ⅰ）求证：
    		ab
    ≥
    2
    1
    a
    +
    1
    b
    ；
    （Ⅱ）如果依次称
    a+b
    2
    、
    		ab
    、
    2
    1
    a
    +
    1
    b
    分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．
    （I）证明：由于a，b均为正数，根据基本不等式，可得
    1
    a
    +
    1
    b
    2
    ≥
    1
    a
    ×
    1
    b
    =
    1
    		ab
    ，即
    		ab
    ≥
    2
    1
    a
    +
    1
    b
    ，
    当且仅当a=b时，等号成立．
    （II）在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2=AC•CB，
    ∴CD=
    		ab
    ，即CD长度为a，b的几何平均数，
    在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD2=DE•OD，
    ∴DE=
    DC2
    OD
    =
    ab
    a+b
    2
    =
    2
    1
    a
    +
    1
    b
    ，由DC≥DE，得
    		ab
    ≥
    2
    1
    a
    +
    1
    b
    ，当且仅当a=b时，等号成立，
    ∴线段DE的长度分别为a，b的调和平均数．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知a＞0,b＞0,且a+b=1,试用分析法证明不等式≥.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    若且，求证：

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    求证：质数序列……是无限的

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    数列{an}的前n项和Sn与an满足：Sn=1-nan（n∈N*），求{an}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan（n∈N*）
    （1）计算a1，a2，a3，a4；
    （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知为虚数单位，，若是纯虚数，则的值为（ ）
    A．-1或1B．1C．3D．-1

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    若，则复数的模是（   ）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是（   ）
    A．成立B．成立
    C．或成立D．且成立

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案