Question

已知圆C：x²+y²+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称．
（I）求m的值；
（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，

OA

•

OB

=-3（O为坐标原点），求圆C的方程．

Answer 1

分析：（I）根据圆的对称性判定直线过圆心，先求圆心坐标，再代入直线方程求解；
（II）设A、B的坐标，根据向量坐标运算与韦达定理根与系数的关系求解即可．

解答：解：（I）x²+y²+2x+a=0⇒（x+1）²+y²=1-a，圆心（-1，0）．
∵圆C：x²+y²+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称，∴直线过圆心，
∴-m+0+1=0⇒m=1，
故m的值为1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+x₁+x₂+1

x+y+1=0 x2+y2+2x+a=0

⇒2x²+4x+1+a=0，
根据韦达定理：x₁+x₂=-2；x₁x₂=

1+a

2

．
∴1+a-2+1=-3⇒a=-3．
∴圆C的方程是：（x+1）²+y²=4．

点评：本题主要考查直线与圆相交的性质及向量坐标运算．巧妙的利用韦达定理根与系数的关系设而不求是求解本题的关键．