分析 (1)当a=0时,g(x)=(2x-2)2-4,即可求函数g(x)的值域;
(2)分类讨论,|f(x)|≤2,可化为-2≤x2-ax+1≤2,分离参数,求最值,即可求a的取值范围;
(3)分类讨论,利用配方法,结合h(x)的最小值为-$\frac{7}{2}$,求实数a的值.
解答 解:(1)当a=0时,g(x)=(2x-2)2-4,…(2分)
因为2x>0,
所以g(x)≥g(2)=-4,g(x)的值域为[-4,+∞).…(4分)
(2)若x=0,a∈R.
若x∈(0,2]时,|f(x)|≤2可化为-2≤x2-ax+1≤2 …(6分)
所以x-$\frac{1}{x}$≤a≤x+$\frac{3}{x}$.…(7分)
因为y=x-$\frac{1}{x}$在(0,2]为递增函数,所以函数y=x-$\frac{1}{x}$的最大值为$\frac{3}{2}$,…(8分)
因为x+$\frac{3}{x}$≥2$\sqrt{3}$(当且仅当x=$\frac{3}{x}$,即x=$\sqrt{3}$取“=”) …(9分)
所以a的取值范围是[$\frac{3}{2}$,2$\sqrt{3}$]. …(10分)
(3)因为h(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x>a}\\{g(x),x≤a}\end{array}\right.$,
当x≤a时,h(x)=4x-4•2x-a,…(11分)
令t=2x,t∈(0,2a],则p(t)=(t-$\frac{2}{{2}^{a}}$)2-$\frac{4}{{4}^{a}}$,
当x≤a时,即${2}^{a}≤\frac{2}{{2}^{a}}$,P(t)∈[4a-4,0); …(12分)
当x>a时,k(x)=x2-ax+1,即k(x)=$(x-\frac{a}{2})^{2}+1-\frac{{a}^{2}}{4}$,
因为a<0,所以$\frac{a}{2}$>a,h(x)∈[1-$\frac{{a}^{2}}{4}$,+∞). …(14分)
若4a-4=-$\frac{7}{2}$,a=-$\frac{1}{2}$,此时1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$\frac{15}{16}$>$-\frac{7}{2}$,
若1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$-\frac{7}{2}$,即a=$-3\sqrt{2}$,此时4a-4=${4}^{-3\sqrt{2}}$-4<-$\frac{7}{2}$,
所以实数a=$-\frac{1}{2}$. …(16分)
点评 本题考查函数的值域,考查分类讨论的数学思想,考查函数的单调性,属于中档题.
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A. | ($\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$) | B. | [$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$] | C. | ($\frac{1}{2}$,$\frac{2}{3}$) | D. | [$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{3}$) |
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P(K2≥k0) | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
数学优秀 | 数学不优秀 | 总计 | |
物理优秀 | |||
物理不优秀 | |||
总计 |
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A. | 0≤c<10 | B. | c>4 | C. | c≤-6 | D. | -6≤c<4 |
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