Question

8．已知函数f（x）=x²-ax+1，g（x）=4^x-4•2^x-a，其中a∈R．
（1）当a=0时，求函数g（x）的值域；
（2）若对任意x∈[0，2]，均有|f（x）|≤2，求a的取值范围；
（3）当a＜0时，设h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞a}\\{g（x），x≤a}\end{array}\right.$，若h（x）的最小值为-$\frac{7}{2}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，g（x）=（2^x-2）²-4，即可求函数g（x）的值域；
（2）分类讨论，|f（x）|≤2，可化为-2≤x²-ax+1≤2，分离参数，求最值，即可求a的取值范围；
（3）分类讨论，利用配方法，结合h（x）的最小值为-$\frac{7}{2}$，求实数a的值．

解答 解：（1）当a=0时，g（x）=（2^x-2）²-4，…（2分）
因为2^x＞0，
所以g（x）≥g（2）=-4，g（x）的值域为[-4，+∞）．…（4分）
（2）若x=0，a∈R．
若x∈（0，2]时，|f（x）|≤2可化为-2≤x²-ax+1≤2    …（6分）
所以x-$\frac{1}{x}$≤a≤x+$\frac{3}{x}$．…（7分）
因为y=x-$\frac{1}{x}$在（0，2]为递增函数，所以函数y=x-$\frac{1}{x}$的最大值为$\frac{3}{2}$，…（8分）
因为x+$\frac{3}{x}$≥2$\sqrt{3}$（当且仅当x=$\frac{3}{x}$，即x=$\sqrt{3}$取“=”）  …（9分）
所以a的取值范围是[$\frac{3}{2}$，2$\sqrt{3}$]．  …（10分）
（3）因为h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞a}\\{g（x），x≤a}\end{array}\right.$，
当x≤a时，h（x）=4^x-4•2^x-a，…（11分）
令t=2^x，t∈（0，2^a]，则p（t）=（t-$\frac{2}{{2}^{a}}$）²-$\frac{4}{{4}^{a}}$，
当x≤a时，即${2}^{a}≤\frac{2}{{2}^{a}}$，P（t）∈[4^a-4，0）； …（12分）
当x＞a时，k（x）=x²-ax+1，即k（x）=$（x-\frac{a}{2}）^{2}+1-\frac{{a}^{2}}{4}$，
因为a＜0，所以$\frac{a}{2}$＞a，h（x）∈[1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，+∞）． …（14分）
若4^a-4=-$\frac{7}{2}$，a=-$\frac{1}{2}$，此时1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$\frac{15}{16}$＞$-\frac{7}{2}$，
若1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$-\frac{7}{2}$，即a=$-3\sqrt{2}$，此时4^a-4=${4}^{-3\sqrt{2}}$-4＜-$\frac{7}{2}$，
所以实数a=$-\frac{1}{2}$． …（16分）

点评 本题考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，考查函数的单调性，属于中档题．