Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中点，O为AC与BD的交点．
（1）求证：平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）求证：平面BDF⊥平面A₁AO；
（3）求证：EG⊥AC．

Answer 1

证明：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中点，∴B₁D₁∥BD．
∵BD?平面BDF，而B₁D₁不在平面BDF 内，∴B₁D₁∥平面BDF．
取DD₁的中点N，则 AH∥D₁N 且AH=D₁N，故AHND₁为平行四边形，∴HD₁∥AN．
同理可证 BF∥AN，故HD₁∥BF．
∵BF?平面BDF，而HD₁不在平面BDF 内，∴HD₁∥平面BDF．
这样，在平面平面B₁D₁H 内有两条相交直线B₁D₁和HD₁都和平面BDF平行，
∴平面BDF∥平面B₁D₁H．
（2）∵O为AC与BD的交点，∴BD⊥AO．再由A₁A⊥平面ABCD可得 A₁A⊥BD．
故BD垂直于平面平面A₁AO中的两条相交直线AO和A₁A，∴BD⊥平面A₁AO．
而BD?平面BDF，∴平面BDF⊥平面A₁AO．
（3）取CD的中点M，连接EM，GM，则EM是△CBD的中位线，∴EM∥BD，由AC⊥BD 可得 EM⊥AC．
由GM和棱A₁A平行可得GM⊥平面ABCD，GM⊥AC．
这样，AC垂直于平面EGM中的两条相交直线EM、GM，∴AC⊥平面EGM，∴AC⊥EG．