Question

（2012•浙江模拟）设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sinAsinC=

3

4

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x-B）+sinx的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a、b、c成等比数列，可得b²=ac，由正弦定理得sin²B=sinAsinC，利用sinAsinC=

3

4

，可得sin2B=

3

4

，根据b不是△ABC的最大边，即可求角B的大小；
（Ⅱ）先化简函数，再根据x∈[0，π），可得-

π

6

≤x-

π

6

＜

5π

6

，从而可得sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，故可求函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，所以b²=ac，所以由正弦定理得sin²B=sinAsinC．
又sinAsinC=

3

4

，所以sin2B=

3

4

．
因为sinB＞0，则sinB=

3

2

．
因为B∈（0，π），所以B=

π

3

或

2π

3

．
又b²=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B=

π

3

．…（6分）
（Ⅱ）因为B=

π

3

，则f(x)=sin(x-

π

3

)+sinx=sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

+sinx
=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

6

)．…（10分）
∵x∈[0，π），∴-

π

6

≤x-

π

6

＜

5π

6

，∴sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
故函数f（x）的值域是[-

3

2

，

3

]．…（14分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，考查三角函数的性质，正确化简函数是关键．