Question

6．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线的倾斜角为$\frac{π}{6}$，则双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$；该双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出渐近线的斜率，得到双曲线的渐近线的方程，求出$\frac{b}{a}$的值，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，求出离心率．

解答 解：∵一条渐近线的倾斜角为$\frac{π}{6}$，
∴渐近线的斜率为k=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程和离心率，属于基础题．