Question

已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）为轨迹C上两点，且x₁＞1，y₁＞0，N（1，0），求实数λ，使，且．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点M（x，y），由
得P（0，），Q（）．
由，
得（3，）•（x，）=0，即y²=4x
又点Q在x轴的正半轴上，
∴x＞0故点M的轨迹C的方程是y²=4x（x＞0）．（6分）
（Ⅱ）由题意可知为抛物线C：y²=4x的焦点，
且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点．
当直线AB斜率不存在时，得A（1，2），B（1，-2），|AB|=，不合题意；（7分）
当直线AB斜率存在且不为0时，设l_AB：y=k（x-1），代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
则|AB|=，解得k²=3（10分）
代入原方程得3x²-10x+3=0，由于x₁＞1，
所以，
由，得．（13分）
分析：（I）设出M的坐标，代入第一个向量等式，表示出P，Q的坐标；将P，Q的坐标代入第二个向量等式，得到轨迹方程．
（II）分类讨论直线的斜率；联立直线与抛物线方程，表示出弦长求出k；检验根的范围，将根代入向量关系求出λ．
点评：本题考查求曲线方程的方法：相关点法；考查直线与圆锥曲线的位置关系，常用的方法是将直线与圆锥曲线方程联立；考查过焦点的直线与抛物线相交时弦长公式．