Question

已知函数f（x）=x³-ax²+10，
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）在区间[4，6]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）当a=1时，设函数g（x）=lnx-2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）+x-10在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，进而写出切线方程；
（Ⅱ）由题意转化为a＞

x3+10

x2

=x+

10

x2

，设g（x）=x+

10

x2

，（1≤x≤2），利用导数求g（x）的最小值，即可得出结论；
（Ⅲ）把连等式分成两个不等式x+m-g（x）≥0和f（x）+x-10-x-m≥0在（0，+∞）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t．

解答： 解：（I）当a=1时，f′（x）=3x²-2x，f（1）=10，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=1，
所以曲线曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y+9=0．
（II）有已知得：a＞

x3+10

x2

=x+

10

x2

，
设g（x）=x+

10

x2

，（1≤x≤2），g′（x）=1-

10

x3

，
∵1≤x≤2，∴g′（x）＜0，所以g（x）在[1，2]上是减函数．    
g（x）_min=g（2）=

9

2

，
所以a＞

9

2

．  
（Ⅲ）由已知得h₁（x）=x+m-g（x）=2x²-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵

h

′ 1

(x)=

(4x+1)(x-1)

x

，
∴x∈（0，1）时，h′₁（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h₁（x）＞0
∴x=1时，h′₁（x）取极小值，也是最小值，
∴当h₁（1）=m-t-1≥0，m≥t+1时，h₁（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同样，h₂（x）=f（x）+x-10-x-m=x³-x²-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′₂（x）=3x（x-

2

3

），
∴x∈（0，

2

3

）时，h′₂（x）＜0，x∈（

2

3

，+∞），h′₂（x）＞0，
∴x=

2

3

时，h₂（x）取极小值，也是最小值，
∴h₂（

2

3

）=-

4

27

-m≥0，m≤-

4

27

时，h₂（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-

4

27

，
∵实数m有且只有一个，∴m=-

4

27

，t=-

31

27

．

点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查学生的等价转化能力及运算求解能力，属于难题．