Question

18．如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$．
（1）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{DC}$．
（2）若$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{DC}$．
（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．

解答 解：（1）由题意知A是BC的中点，且$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
由平行四边形法则得$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$，
则$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{b}$．
（2）由图知$\overrightarrow{EC}$∥$\overrightarrow{DC}$，
∵$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-λ$\overrightarrow{a}$=（2-λ）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{2-λ}{2}=\frac{-1}{-\frac{5}{3}}$，
解得$λ=\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量平行四边形法则和向量共线的条件是解决本题的关键．