Question

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x₀，y₁）处的切线为l₁，曲线y=

1-x

ex

在点B（x₀，y₂）处的切线为l₂．若存在x₀∈[0，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用,直线与圆

分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x₀分别代入到相应的导函数中求出切线l₁和切线为l₂的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为-1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围．

解答： 解：函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为k1=（ax0+a-1）ex0，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为k2=（x0-2）e-x0，
由题设有k₁•k₂=-1从而有（ax0+a-1）ex0•（x0-2）e-x0=-1，
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x₀∈[0，

3

2

]，得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=

x0-3

x02-x0-2

，
又a′=-

(x0-1)(x0-5)

(x02-x0-2)2

，令导数大于0得，1＜x₀＜5，
故a=

x0-3

x02-x0-2

在（0，1）是减函数，在（1，

3

2

）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为

3

2

；
x₀=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤

3

2

．
故答案为：[1，

3

2

]．

点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．