Question

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||
其中真命题为

①

写出所有真命题的代号）．

Answer 1

分析：弄清新命题的运算规则，设出各点坐标，代入关系式计算，根据计算结果进行判断．

解答：解：①若点C在线段AB上，设点C（x₀，y₀），那么x₀在x₁，x₂之间．y₀在y₁，y₂之间，
∴||AC||+||CB||=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=||AB||，故①正确；
②平方后不能消除x₀，y₀，命题不成立，故②不正确；
③在△ABC中，||AC||+||CB||=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|x₀-x₁+y₀-y₁+x₂-x₀+y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=||AB||，故③不正确．
故答案为：①．

点评：本题是利用新运算与绝对值的结合进行解题，应注意点C的不同位置．