Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）经过点P（﹣2，0）与点（1，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过P点作两条互相垂直的直线PA，PB，交椭圆于A，B．
①证明直线AB经过定点；
②求△ABP面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 ，解得 ，

∴椭圆方程为

（2）①证明：由对称性知，若存在定点，则必在x轴上，

当kPA=1时，lPA：y=x+2，

联立 ，得x2+3x+2=0，解得x=﹣1．

下面验证定点为（1，0）．

设直线PA的方程为y=k（x+2），

联立 ，得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣4=0，

解得： ．

同理可得： ．

则 ，即直线AB经过定点（﹣1，0）；

②解：由题意可知，直线不与x轴平行，设直线AB方程为x=ty﹣1．

联立 ，得（t2+3）y2﹣2ty﹣3=0．

∴ ，

∴ = ．

令 ，λ∈[3，+∞），则 ．

∴ ．

当且仅当λ=3，即t=0时成立

【解析】（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，求解方程组可得a，b，则椭圆的方程可求；（2）①由对称性知，若存在定点，则必在x轴上，求出PA所在直线斜率为1时AB所过定点，验证得答案；②设直线AB方程为x=ty﹣1．联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的纵坐标的和与积，结合弦长公式求得面积，换元后利用基本不等式求最值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．