Question

【题目】设f(x)＝ln x，g(x)＝x|x|.

(1)求g(x)在x＝－1处的切线方程；

(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的单调区间；

(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1>x2，都有m[g(x1)－g(x2)]>x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3) .

【解析】试题分析：（1）通过求导得到切线方程x－y＋＝0；（2）F(x)＝xln x－x2(x>0)，得到单调区间(0，＋∞)上递减；（3）构造h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xln x，则h(x)在(0，＋∞)上为单调递增，故h′(x)＝mx－ln x－1≥0恒成立，即m≥恒成立，m≥1。

试题解析：

(1)x<0时，g(x)＝－x2，g′(x)＝－x，

故g(－1)＝－，g′(－1)＝1，

故g(x)在x＝－1处的切线方程是：y＋＝1×(x＋1)，

即x－y＋＝0.

(2)由题意知F(x)＝xln x－x|x|＝xln x－x2(x>0)，

F′(x)＝ln x－x＋1，令t(x)＝F′(x)＝ln x－x＋1，

则t′(x)＝－1，

令t′(x)>0，解得0<x<1，令t′(x)<0，解得x>1，

故F′(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，

故F′(x)≤F′(1)＝0，

故F(x)在(0，＋∞)上递减；

(3)已知可转化为x1>x2≥1时，mg(x1)－x1f(x1)≥mg(x2)－x2f(x2)恒成立，

令h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xln x，

则h(x)在(0，＋∞)上为单调递增的函数，

故h′(x)＝mx－ln x－1≥0恒成立，即m≥恒成立，

令m(x)＝，则m′(x)＝－，

∴当x∈[1，＋∞)时，m′(x)≤0，m(x)单调递减，

m(x)≤m(1)＝1，即m≥1，

故实数m的取值范围是[1，＋∞).