A. | 9+2$\sqrt{14}$ | B. | 4+2$\sqrt{6}$ | C. | 9+2$\sqrt{15}$ | D. | 5+2$\sqrt{6}$ |
分析 作出不等式对应的平面区域,利用z的几何意义确定取得最大值的条件,然后利用基本不等式进行求则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值.
解答 解:由z=ax+by(a>0,b>0)得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$,
∵a>0,b>0,∴直线的斜率$-\frac{a}{b}<0$,
作出不等式对应的平面区域如图:
平移直线得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$,由图象可知当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时,直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的截距最大,此时z最大.
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+6=0}\\{4x-y-2=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=14}\end{array}\right.$,即A(4,14),
此时目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2,
即4a+14b=2,∴2a+7b=1,
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)×1=($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)×(2a+7b)=2+7+$\frac{7b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥9+2$\sqrt{\frac{7b}{a}•\frac{2a}{b}}$=9+2$\sqrt{14}$,
当且仅当$\frac{7b}{a}$=$\frac{2a}{b}$,即2a2=7b2时取等号.
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9+2$\sqrt{14}$,
故选:A.
点评 本题主要考查线性规划的基本应用,以及基本不等式的应用,利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 4 | D. | 8 |
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