【题目】如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的菱形,∠ABC=60°,SA⊥平面ABCD,且SA=4,M在棱SA上,且AM=1,N在棱SD上且SN=2ND. (Ⅰ)求证:CN∥面BDM;
(Ⅱ)求直线SD与平面BDM所成的角的正弦值.
【答案】证明:(I)∵底面ABCD是边长为4的菱形,∠ABC=60°, ∴AH⊥BC,又BC∥AD,
∴AD⊥AH.
取BC的中点H,以A为原点,以AD,AH,AS为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz,如图所示:
则D(4,0,0),M(0,0,1),S(0,0,4),B(﹣2,2 ,0),C(2,2 ,0).
∴ =(2,﹣2 ,0), =(﹣4,0,4), =(﹣6,2 ,0), =(﹣4,0,1),
∴ = =(﹣ ,0, ), = =( ,﹣2 , ),
设平面BDM的法向量为 =(x,y,z),则 ,
∴ ,令x=1得 =(1, ,4).
∴ = ﹣2 × + =0.
又∵CN平面BDM,
∴CN∥平面BDM.
(II) =﹣4+0+16=12,
| |= =4 ,| |= =2 ,
∴cos< >= = .
∴直线SD与平面BDM所成的角的正弦值为 .
【解析】(Ⅰ)取BC的中点H,以A为原点,以AD,AH,AS为坐标轴建立空间直角坐标系,求出 和平面BDM的法向量 的坐标,利用数量积证明 ⊥ 即可得出结论;(Ⅱ)通过计算cos< , >即可得出直线SD与平面BDM所成的角的正弦值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线E:x2=4y的焦点F是椭圆 (a>b>0)的一个顶点.过点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于另一点D,交抛物线E于A、B两点,线段DF的中点为M,直线OM交椭圆C于P、Q两点,记直线OM的斜率为k',满足 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)记△PDF的面积为S1 , △QAB的面积为S2 , 设 ,求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的短轴长为2 ,离心率为 ,点F为其在y轴正半轴上的焦点. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若一动圆过点F,且与直线y=﹣1相切,求动圆圆心轨迹C1的方程;
(Ⅲ)过F作互相垂直的两条直线l1 , l2 , 其中l1交曲线C1于M、N两点,l2交椭圆C于P、Q两点,求四边形PMQN面积的最小值.
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【题目】已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(﹣x)=f(2+x),f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( )
A.(﹣2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
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【题目】在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且| |=3,| |=4, =λ +μ (λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,| |的值为( )
A.
B.3
C.
D.
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【题目】已知F1 , F2分别是椭圆C: =1(a>b>0)的两个焦点,P(1, )是椭圆上一点,且 |PF1|,|F1F2|, |PF2|成等差数列.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F2 , 且与椭圆C交于A、B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得 =﹣ 恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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