【题目】若对任意实数都有函数的图象与直线相切,则称函数为“恒切函数”,设函数,其中.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知函数为“恒切函数”,
①求实数的取值范围;
②当取最大值时,若函数也为“恒切函数”,求证:.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)求出,分两种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2)①设切点为,求出,设,根据函数的单调性求出故实数的取值范围为;②当取最大值时,,,,,,因为函数也为“恒切函数”,故存在,使得,,由得,,设,,根据函数的单调性证明即可.
详解:(1).当时,恒成立,函数在上单调递减;
当时,得,由得,由得,
得函数在上单调递减,在上递增.
(2)①若函数为“恒切函数”,则函数的图象与直线相切,
设切点为,则且,即,.
因为函数为“恒切函数”,所以存在,使得,,即,得,,设.
则,,得,得,
故在上单调递增,在上单调递减,从而
故实数的取值范围为.
②当取最大值时,,,,,
,因为函数也为“恒切函数”,故存在,使得,,由得,,设,
则,得,得,
故在上单调递减,在上单调递增,
1.在单调递增区间上,,故,由,得;
2. 在单调递增区间上,,
,又的图象在上不间断,
故在区间上存在唯一的,使得,故.
此时由,得,
函数在上递增,,,故.
综上所述,.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2018年高考成绩揭晓,某高中再创辉煌,考后学校对于单科成绩逐个进行分析:现对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析,规定:大于等于135分为优秀,135分以下为非优秀,成绩统计后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表;
(2)请问:是否有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”?
(3)用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研,然后再从这5名学生中随机抽取2名学生进行谈话,求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率.
参考公式:(其中)
参考数据:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(2016·重庆高二检测)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.
(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC.
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查,得到的情况如下表所示:
喜欢盲拧 | 不喜欢盲拧 | 总计 | |
男 | 22 | ▲ | 30 |
女 | ▲ | 12 | ▲ |
总计 | ▲ | ▲ | 50 |
表1
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示:
成功完成时间(分钟) | [0,10) | [10,20) | [20,30) | [30,40] |
人数 | 10 | 10 | 5 | 5 |
表2
(1)将表1补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?
(2)根据表2中的数据,求这30名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(3)现从表2中成功完成时间在[0,10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录,记成功完成时间在[0,10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附参考公式及数据:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面, 垂直于和,为棱上的点,,.
(1)若为棱的中点,求证://平面;
(2)当时,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
(3)在第(2)问条件下,设点是线段上的动点,与平面所成的角为,求当取最大值时点的位置.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.则获得复赛资格的人数为()
A.640B.520C.280D.240
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com