椭圆C:$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点为F1.F2.有下列研究问题及结论:①曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}={1 {\;}}$与椭圆C的焦点相同,②双曲线的焦点是椭圆C 的长轴的端点.顶点是椭圆C的焦点.则其标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$,③若点P为椭圆上一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．椭圆C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点为F₁，F₂，有下列研究问题及结论：
①曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}={1_{\;}}（k＜9）$与椭圆C的焦点相同；
②双曲线的焦点是椭圆C 的长轴的端点，顶点是椭圆C的焦点，则其标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$；
③若点P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=8．
④过椭圆C的右焦点F₂且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点．若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则k=$\frac{5}{6}$．
则以上研究结论正确的序号是①②③．

分析椭圆C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），长轴端点：（±5，0），短轴端点：（0，±3）．
①由$\sqrt{25-k-（9-k）}$=4，可得此椭圆与椭圆C的焦点相同，即可判断出正误；
②双曲线的焦点是椭圆C 的长轴的端点，顶点是椭圆C的焦点，即可得出其标准方程，即可判断出正误；
③由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，设PO的延长线与椭圆相交于点Q，则四边形PF₁QF₂是矩形，因此$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=|F₁F₂|=8，即可判断出正误．
④设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程：my=x-4，与椭圆方程联立化为（9m²+25）y²+72my-81=0，利用根与系数的关系及其$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，-y₁=3y₂，化简解出m，即可得出k．

解答解：椭圆C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），长轴端点：（±5，0），短轴端点：（0，±3）．
①曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}={1_{\;}}（k＜9）$，由$\sqrt{25-k-（9-k）}$=4，可得此椭圆与椭圆C的焦点相同，正确；
②双曲线的焦点是椭圆C 的长轴的端点，顶点是椭圆C的焦点，则其标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，正确；
③若点P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，设PO的延长线与椭圆相交于点Q，则四边形PF₁QF₂是矩形，因此$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=|F₁F₂|=8，正确．
④设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程：my=x-4，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-4}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，化为（9m²+25）y²+72my-81=0，∴y₁+y₂=-$\frac{72m}{9{m}^{2}+25}$，y₁y₂=$\frac{-81}{9{m}^{2}+25}$．（*）
∵$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，∴-y₁=3y₂，代入（*）可得：39m²=25，m＞0，解得m=$\frac{5}{\sqrt{39}}$，则k=$\frac{\sqrt{39}}{5}$．因此不正确．
则以上研究结论正确的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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