Question

(本小题满分13分)为抗击金融风暴，某工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持，该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估，并依据评估得分将这些企业分别评定为优秀、良好、合格、不合格4个等级，然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额，其评估标准和贷款金额如下表：

评估得分	[50，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90]
评定类型	不合格	合格	良好	优秀
贷款金额(万元)	0	200	400	800

为了更好地掌控贷款总额，该系统随机抽查了所属部分企业的评估分数，得其频率分布直方图如下：

(1)估计该系统所属企业评估得分的中位数及平均分；

(2)该系统要求各企业对照评分标准进行整改，若整改后优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量依次成等差数列，系统所属企业获得贷款的均值(即数学期望)不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是多少？

Answer 1

解：(1)因为0.015×10=0.15,  0.04×10=0.4,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的面积相等,所以中位数在区间[60,70)内,

设中位数为x,则(60-50)×0.015+(x-60)×0.04=0.5,解得x=68.75

所以估计该系统所属企业评估得分的中位数是68.75. ………………2分

平均分为:55×0.15+65×0.4+75×0.2+85×0.25=70.5分. ………………4分

(2)依题意,整改后优秀企业的频率为10×0.025=0.25, ………………5分

不合格企业,合格企业,良好企业的频率成等差数列,设该等差数列的首项为a,公差为d,则

………………7分

设该系统所属企业获得贷款的均值为,则

………………10分

由≥410，得450－400a≥410，即a≤0.1.          ………………12分

故整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是10%.   ………………13分