分析 (1)由向量和三角函数公式可得f(x)=2+$\sqrt{2}$cos(2x+$\frac{π}{4}$),易得最大值和最小正周期;
(2)解2kπ+π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+2π可得函数f(x)的单调增区间.
解答 解:(1)∵$\overrightarrow{a}$=(sinx,-cosx),$\overrightarrow{b}$=(sinx,-3cosx),$\overrightarrow{c}$=(-cosx,sinx),
∴$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=(sinx-cosx,-3cosx+sinx),
∴f(x)=$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$)=sinx(sinx-cosx)-cosx(-3cosx+sinx)
=sin2x-sinxcosx+3cos2x-sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$-sin2x+3•$\frac{1+cos2x}{2}$
=2+cos2x-sin2x=2+$\sqrt{2}$cos(2x+$\frac{π}{4}$),
∴函数f(x)的最大值为2$+\sqrt{2}$,最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π;
(2)由2kπ+π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+2π可解得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$,kπ+$\frac{7π}{8}$](k∈Z)
点评 本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的周期性和最值,属基础题.
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A. | $\sqrt{5}$ | B. | 1 | C. | 2 | D. | $\sqrt{3}$ |
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