Question

【题目】定义“矩阵”的一种运算，该运算的意义为点在矩阵的变换下成点设矩阵

已知点在矩阵的变换后得到的点的坐标为，试求点的坐标；

是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，直线方程为：或

【解析】

设，由题意，得出关于、的方程，解之即得点的坐标；

对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：，该直线上的任一点，经变换后得到的点仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得，值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

设

由题意，有，

即P点的坐标为．

假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，

所以设直线方程为：

因为该直线上的任一点，经变换后得到的点仍在该直线上

所以

即，其中

代入得对任意的恒成立

解之得或

故直线方程为或．