Question

【题目】如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，若∠PDA=45°，
（1）求证：MN∥平面PAD且MN⊥平面PCD．
（2）探究矩形ABCD满足什么条件时，有PC⊥BD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，取PD的中点E，连接AE，NE．

E、N分别为PD，PC的中点，

所以：EN∥CD， ，

又M为AB的中点，

所以： ，AM∥CD，

EN∥AM，EN=AM，

所以：四边形AMNE为平行四边形．

MN∥AE，

所以：MN∥平面PAD，

PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，

所以：△PAD是等腰直角三角形，

所以：AE⊥PD．

又CD⊥AD，CD⊥PA，AD交PA于A，

所以：CD⊥平面PAD，AE平面PAD，

所以：CD⊥AE，

又CD交PD于D，

所以：AE⊥平面PCD，

则：MN⊥平面PCD

（2）若 PC⊥BD，又PA⊥BD，PA交PC于P，

所以：BD⊥平面PAC，

所以：BD⊥AC，即矩形ABCD的对角线互相垂直．

此时矩形为正方形．

即当矩形ABCD为正方形时，满足PC⊥BD．

【解析】（1）利用三角形的中位线得到线线平行，进一步得到线面平行，利用线线垂直进一步转化成线面垂直．（2）利用线面垂直转化线线垂直，最后确定矩形是正方形．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键．