Question

17．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则$\overrightarrow{OG}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$-\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由三角形重心的性质和向量的三角形法则得出$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），再由向量的平方即为模的平方和向量垂直的条件计算．

解答 解：如图所示，连接AG并延长与BC相交于点D．
∵点G是底面△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}）$，
又$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），
则$\overrightarrow{OG}$•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$）
=$\frac{1}{3}$[$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}-（\overrightarrow{OC}）^{2}$=$\frac{1}{3}$（$|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}-|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$
=$\frac{1}{3}$（1+4+0-9）=-$\frac{4}{3}$．
故答案为：$-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了重心的性质和向量的三角形法则，属于中档题．