Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（-1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由两个焦点分别为A（-1，0），B（1，0），上顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，
最后由椭圆的焦点在X轴上求得方程．
（2）利用向量垂直即可求得M点的横坐标x₀，从而解决问题．

解答：解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=

3

故所求的椭圆标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设M（x₀，y₀）（x₀≠±2），则

x02

4

+

y02

3

=1      ①
又由P（t，0），H（2，0）．则

MP

=(t-x0，-y0)，

MH

=(2-x0，-y0)
由MP⊥MH可得

MP

•

MH

=0，即（t-x₀，-y₀）•（2-x₀，-y₀）=(t-x0)•(2-x0)+y02=0
由①②消去y₀，整理得t(2-x0)=-

1

4

x02+2x0-3    ②
∵x₀≠2，∴t=

1

4

x0-

3

2

∵-2＜x₀＜2，∴-2＜t＜-1
故实数t的取值范围为（-2，-1）．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答．