Question

若函数h(x)满足
（1）h(0)=1，h(1)=0；
（2）对任意，有h(h(a))=a；
（3）在（0,1）上单调递减。则称h(x)为补函数。已知函数
（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为x_n，且，若对任意的，都有S_n< ,求的取值范围；
（3）当=0，时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。

Answer 1

见解析

（1）函数是补函数。证明如下：
①；
②；
③令，有，
因为，所以当时，，所以在（0，1）上单调递减，故函数在（0，1）上单调递减。
（2）  当，由，得： 
①当时，中介元；
②当且时，由（*）可得或；
得中介元，综上有对任意的，中介元（）
于是，当时，有=
当n无限增大时， 无限接近于， 无限接近于，故对任意的，成立等价于，即 ；
（3）  当时， ，中介元是
①当时， ，中介元为，所以点不在直线y=1-x的上方，不符合条件；
②当时，依题意只须在时恒成立，也即在时恒成立，设，，则，
由可得，且当时，，当时，，又因为=1，所以当时， 恒成立。
综上：p的取值范围为（1，+）。
【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义，函数与不等式的综合应用以及分类讨论，数形结合的数学思想.高考中，导数解答题一般有以下几种考查方向：一、导数的几何意义，求函数的单调区间；二、用导数研究函数的极值，最值；三、用导数求最值的方法证明不等式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查.