Question

设A={x|x=kπ+

π

2

，k∈Z }，已知

a

=（2cos

α+β

2

，sin

α-β

2

），

b

=（cos

α+β

2

，3sin

α-β

2

），
（1）若α+β=

2π

3

，且

a

=2

b

，求α，β的值．
（2）若

a

•

b

=

5

2

，其中 α，β∈A，求tanαtanβ的值．

Answer 1

分析：（1）由α+β=

2π

3

，我们易将向量

a

，

b

化为

a

=（1，sin（α-

π

3

）），

b

=（

1

2

，3sin（α-

π

3

））的形式，结合

a

=2

b

，我们构造三角方程，解方程即可求出满足条件的α，β的值．
（2）由已知中

a

=（ 2cos

α+β

2

，sin

α-β

2

），

b

=（cos

α+β

2

，3sin

α-β

2

），及

a

•

b

=

5

2

，我们易构造一个关于α，β的关系式，结合两角和与差的余弦公式，我们易求出
-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，进而得到答案．

解答：解：（1）∵α+β=

2π

3

，
∴

a

=（1，sin（α-

π

3

）），

b

=（

1

2

，3sin（α-

π

3

）），（4分）
由

a

=2

b

，得sin（α-

π

3

）=0，
∴α=kπ+

π

3

，β=-kπ+

π

3

，k∈Z．（3分）
（2）∵

a

•

b

=2cos²

α+β

2

+3sin²

α-β

2

=1+cos（α+β）+3×

1-cos(α-β)

2

=

5

2

+cos（α+β）-

3

2

cos（α-β）=

5

2

，（3分）
∴cos（α+β）=

3

2

cos（α-β），
展开得2cosα•cosβ-2sinα•sinβ=3cosα•cosβ+3sinα•sinβ
即-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，
∵α，β∈A，
∴tanα•tanβ=-

1

5

．（4分）

点评：本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系，向量加法及其几何意义，平面向量数量积的运算，熟练掌握三角函数公式及向量数量积的定义，是解答本题的关键．