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已知函数f(x)=ln(ex+k)(k为常数)是实数集R上的奇函数
(1)求k的值
(2)若函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数,且g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围
(3)讨论关于x的方程
lnxf(x)
=x2-2ex+m
的根的个数.
分析:(1)因为定义域是实数集R,直接利用奇函数定义域内有0,则f(-0)=-f(0)即f(0)=0,即可求k的值;
(2)先利用函数g(x)的导函数g'(x)=λ+cosx≤0在[-1,1]上恒成立,求出λ的取值范围以及得到g(x)的最大值g(-1)=-1-sin1;然后把g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立转化为-λ-sin1≤t2+λt+1(λ≤-1),整理得(t+1)λ+t2+sin1+1≥0(λ≤-1)恒成立,再利用一次函数的思想方法求解即可.
(3)先把方程转化为
lnx
x
=x2-2ex+m,令F(x)=
lnx
x
(x>0),G(x)=x2-2ex+m  (x>0),再利用导函数分别求出两个函数的单调区间,进而得到两个函数的最值,比较其最值即可得出结论.
解答:解:(1)因为函数f(x)=ln(ex+k)(k为常数)是实数集R上的奇函数,
所以f(-0)=-f(0)即f(0)=0,
则ln(e0+k)=0解得k=0,
显然k=0时,f(x)=x是实数集R上的奇函数;
(2)由(1)得f(x)=x所以g(x)=λx+sinx,g'(x)=λ+cosx,
因为g(x) 在[-1,1]上单调递减,∴g'(x)=λ+cosx≤0  在[-1,1]上恒成立,
∴λ≤-1,g(x)max=g(-1)=-λ-sin1,
只需-λ-sin1≤t2+λt+1(λ≤-1),
∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0(λ≤-1)恒成立,
令h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1(λ≤-1)
t+1≤0
h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0
解得t≤-1
(3)由(1)得f(x)=x
∴方程转化为
lnx
x
=x2-2ex+m,令F(x)=
lnx
x
(x>0),G(x)=x2-2ex+m  (x>0),(8分)
∵F'(x)=
1-lnx
x2
,令F'(x)=0,即
1-lnx
x2
=0,得x=e
当x∈(0,e)时,F'(x)>0,∴F(x)在(0,e)上为增函数;
当x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)在(e,+∞)上为减函数;(9分)
当x=e时,F(x)max=F(e)=
1
e
(10分)
而G(x)=(x-e)2+m-e2   (x>0)
∴G(x)在(0,e)上为减函数,在(e,+∞)上为增函数;(11分)
当x=e时,G(x)min=m-e2(12分)
∴当m-e2
1
e
,即m>e2+
1
e
时,方程无解;
当m-e2=
1
e
,即m=e2+
1
e
时,方程有一个根;
当m-e2
1
e
,即m<e2+
1
e
时,方程有两个根;(14分)
点评:本题主要考查函数奇偶性的性质,函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题中的应用,是对知识的综合考查,属于难题.
在涉及到奇函数定义域内有0时,一般利用结论f(0)=0来作题.
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2
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1
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3
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3
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6
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6
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