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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的极坐标为，曲线的参数方程为 (为参数)

    (1)求点的直角坐标；化曲线的参数方程为普通方程；

    (2)设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值，及此时点的直角坐标.

    【答案】（1）（2）最小周长为4，点．

    【解析】试题分析：（1）利用 得点的直角坐标；利用平方关系 消参数将曲线的参数方程化为普通方程；（2）利用椭圆参数方程表示点坐标，并表示矩形周长： ．最后根据正弦函数性质确定最值.

    试题解析：（1）点的极坐标转化成直角坐标为： ．

    由消参数得．

    （2）设根据题意，得到，

    则： ， ，

    所以矩形的周长为： ．

    由知当时，

    所以矩形的最小周长为4，点．

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    （2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为求直线的方程；

    （3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若为钝角，求直线 在轴上的截距的取值范围．

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    某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）

    年龄

    频数

    频率

    男

    女

    10

    0.1

    5

    5

    [10,20)

    ①

    ②

    ③

    ④

    [20,30)

    25

    0.25

    12

    13

    [30,40)

    20

    0.2

    10

    10

    [40,50)

    10

    0.1

    6

    4

    [50,60)

    10

    0.1

    3

    7

    [60,70)

    5

    0.05

    1

    4

    [70,80)

    3

    0.03

    1

    2

    [80,90)

    2

    0.02

    0

    2

    合计

    100

    1.00

    45

    55

    （1）完成表格一中的空位①-④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数.

    （2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？

    （3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为，求的分布列

    （表二）

    50岁以上

    50岁以下

    合计

    男生

    女生

    合计

    0.15

    0．10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    （参考公式： ，其中.）

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    A. B. C. D.

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    （Ⅰ）当，求函数的单调递增区间；

    （Ⅱ）设定义在上的函数在点处的切线方程为， 若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，当时，试问是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

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