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已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,|PA|+|PM|的最小值是______.
首先,当x=4时,代入抛物线方程,求得|y|=4
而|a|>4,说明A(4,a)是在抛物线之外(也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方)
抛物线焦点可求得是F(1,0),准线L:x=-1
P在y轴上的射影是M,说明PM⊥y轴,延长PM交L:x=-1于点N,必有:
|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1
|PN|就是P到准线L:x=-1的距离!
连接PF
根据抛物线的定义,
可知:抛物线上的点P到准线x=-1的距离等于其到焦点F(1,0)的距离!即:|PF|=|PN|
∴|PM|=|PF|-1
|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1
只需求出|PF|+|PA|的最小值即可:
连接|AF|
由于A在抛物线之外,可由图象的几何位置判断出:AF必与抛物线交于一点,设此点为P'
1°当P与P'不重合时:A,P,F三点必不共线,三点构成一个三角形APF,根据三角形“两边之和大于第三边”的性质,可得:
|PF|+|PA|>|AF|=
(4-1)2+(a-0)2
^=
a2+9

2°当P与P'重合时,A,P(P'),F三点共线,根据几何关系有:
|PF|+|PA|=|AF|=
a2+9

综合1°,2°两种情况可得:
|PF|+|PA|≥
a2+9

∴(|PF|+|PA|)min=
a2+9

∴(|PA|+|PM|)min=
a2+9
-1
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|MN|
|AB|
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MM/
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