如图所示,四棱锥的底面为直角梯形,,,,,底面,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
(Ⅰ)见解析
(Ⅱ)直线与平面所成的角为
(Ⅲ)点到平面的距离等于
(Ⅰ)设与交点为,延长交的延长线于点,
则,∴,∴,∴,
又∵,∴,
又∵,∴,
∴,∴
又∵底面,∴,∴平面,
∵平面,∴平面平面…………………………………(4分)
(Ⅱ)连结,过点作于点,
则由(Ⅰ)知平面平面,
且是交线,根据面面垂直的性质,
得平面,从而即
为直线与平面所成的角.
在中,,
在中,
. 所以有,
即直线与平面所成的角为…………………………………(8分)
(Ⅲ)由于,所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的,即. 在中,,
从而点到平面的距离等于………………………………………………(12分)
解法二:如图所示,以点为坐标原点,
直线分别为轴,
建立空间直角坐标系,
则相关点的坐标为
,,,.
(Ⅰ)由于,,
,
所以,
,
所以,
而,所以平面,∵平面,
∴平面平面……………………………………………………………(4分)
(Ⅱ)设是平面的一个法向量,则,
由于,,所以有
,
令,则,即,
再设直线与平面所成的角为,而,
所以,
∴,因此直线与平面所成的角为………………(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,而,
所以点到平面的距离为
科目:高中数学 来源: 题型:
如图所示,四棱锥的底面是边长为1的菱形,,
E是CD的中点,PA底面ABCD,。
(I)证明:平面PBE平面PAB;
(II)求二面角A—BE—P和的大小。
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图所示,四棱锥的底面是边长为1的正方形,,,点是棱的中点。
(1)求证;
(2)求异面直线与所成的角的大小;
(3)求面与面所成二面角的大小。
(第18题图)
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科目:高中数学 来源:2010年四川省高二下学期5月月考数学试题 题型:解答题
(本题满分12分)如图所示,四棱锥的底面为直角梯形,,,,,底面,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
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科目:高中数学 来源:2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学文史类(湖南卷) 题型:解答题
如图所示,四棱锥的底面是边长为1的菱形,,
E是CD的中点,PA底面ABCD,。
(I)证明:平面PBE平面PAB;
(II)求二面角A—BE—P和的大小。
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