Question

已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

Answer 1

解：（1）证明∵f（x）=f（x+1）+f（x-1）
∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
则f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）
=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1）．
∴f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]
=-f（x）．
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x）．
∴f（x）是周期函数且6是它的一个周期．
（2）∵f（x）是周期函数且6是它的一个周期．
f（2004）=f（334×6）=f（0）=-f（3）=-2．
分析：（1）根据对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立，以及递推关系可得f（x+3）=-f（x），将x+3代入可得f（x+6）=f（x），最后根据周期函数的定义可知f（x）的周期，从而证得结论；
（2）根据f（x）是周期函数且6是它的一个周期，将f（2004）转化成f（0），而f（0）与f（3）互为相反数，即可求出所求．
点评：本题主要考查了抽象函数的周期性，以及求函数值等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．