Question

某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
频数	40	20	a	10	b

（1）求表中的a，b值；
（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；
（3）求η的分布列及数学期望Eη．

Answer 1

分析：（1）根据分3期付款的频率为0.2，得到a除以100值为0.2，求出a的值，根据总体数是100，求出b的值．
（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据独立重复试验的概率公式得到购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款的概率．
（3）η表示经销一辆汽车的利润，η的可能取值为：1，1.5，2，结合变量对应的事件，根据η和ξ之间的关系，写出变量的概率，得到分布列．

解答：解：（1）由

a

100

=0.2得a=20
∵40+20+a+10+b=100∴b=10
（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，
依题意得：P(ξ=1)=

40

100

=0.4，
P(ξ=2)=

20

100

=0.2，
P（ξ=3）=0.2，
P(ξ=4)=

10

100

=0.1，
P(ξ=5)=

10

100

=0.1
则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率
P（A）=0.8³+C₃¹0.2×（1-0.2）²=0.896
（3）∵η的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）
P（η=1）=P（ξ=1）=0.4
P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4
P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2
∴η的分布列为：
∴η的数学期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（万元）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验，考查两个变量之间的概率关系，是一个综合题目，这种题目近几年考得比较多．