Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列（n∈N^*），a₂=3且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令且b₁=1，求数列{b_n}的通项．

Answer 1

（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d≠0，
由a₂=3可得a₁+d=3
由 a₁，a₃，a₉成等比数列可得（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d）
解得，
所以…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n+1=b_n+2n
所以有b_n-b_n-1=2（n-1）b_n-1-b_n-2=2（n-2）…b₂-b₁=2×1
由叠加法可得b_n-b₁=2（1+2+…+（n-1））
所以b_n=n²-n+1（n∈N^*）…（13分）
分析：（I）由 a₁，a₃，a₉成等比数列可得（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d）及a₁+d=3可求a₁，d进而可求通项公式
（II）（Ⅰ）可知b_n+1=b_n+2n，从而可得b_n+1-b_n=2n，利用叠加法可求
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的基本运算，这是数列中最基本试题类型，还考查了叠加求解数列的通项公式，叠加法中要注意所写得式子的个数容易出现错误