Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：下列关于f（x）的命题：
①f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是

②④

．

Answer 1

分析：根据周期性的定义，分析出周期函数的定义域为无穷区间（区间无最值），结合函数的定义域为闭区间，可判断①的真假；
根据已知导函数的图象，易分析出f（x）在[0，2]上的单调性，可判断②的真假；
根据已知导函数的图象，及表中几个点的坐标，易分析出0≤t≤5，均能保证x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，进而判断③的真假；
根据函数的单调区间分析出函数的图象形状，可判断④的真假．

解答：解：∵函数f（x）的定义域为[-1，5]，但周期函数的定义域必为无穷区间，不能为闭区间，故f（x）不是周期函数，即①错误；
由已知中y=f′（x）的图象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即②正确；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误
∵函数f（x）在定义域为[-1，5]共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即④正确
故答案为：②④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知，分析出函数的大致形状，利用图象分析函数的性质是解答本题的关键．