Question

下列四个命题：
①直线l的斜率k∈[-1，1]，则直线l的倾斜角α∈[-

π

4

，

π

4

]；
②直线l：y=kx+1与以A（-1，5）、B（4，-2）两点为端点的线段相交，则k≤-4或k≥-

3

4

；
③如果实数x，y满足方程（x-2）²+y²=3，那么

y

x

的最大值为

3

；
④直线y=kx+1与椭圆

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共点，则m的取值范围是m≥1．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由直线倾斜角的范围判断①错误；求出直线l恒过的定点M，再求出MA和MB所在直线的斜率判断②正确；
由

y

x

的几何意义可知

y

x

是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，求出过原点的圆的切线的斜率判断③正确；
由直线y=kx+1恒过的定点在椭圆内部求解m的取值范围，结合圆的条件判断④错误．

解答： 解：对于①，∵直线的倾斜角的范围是[0，π）．
∴命题①错误；
对于②，∵直线l：y=kx+1恒过定点M（0，1），
kMB=

-2-1

4

=-

3

4

，kMA=

5-1

-1

=-4．
∴k≤-4或k≥-

3

4

．
命题②正确；
对于③，方程（x-2）²+y²=3表示以（2，0）为圆心，以

3

为半径的圆，

y

x

的几何意义是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，设过原点的圆的切线方程
为y=kx，由

|2k|

k2+1

=

3

，得k=±

3

．
∴

y

x

的最大值为

3

．
命题③正确；
对于④，∵直线y=kx+1恒过定点（0，1），
∴要使直线y=kx+1与椭圆

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共点，则m的取值范围是m≥1，但当m=5时方程

x2

5

+

y2

m

=1不是椭圆，∴命题④错误．
∴正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了直线的斜率，考查了直线和圆锥曲线的关系，是中档题．