Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．

Answer 1

分析：（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）设所截弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；

解答：解：（1）由

4x2+y2=1 y=x+m

得5x²+2mx+m²-1=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=4m²-4×5（m²-1）≥0，即-4m²+5≥0，
解得-

5

2

≤m≤

5

2

，
所以实数m的取值范围是-

5

2

≤m≤

5

2

；
（2）设所截弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，x1+x2=-

2m

5

，x1x2=

m2-1

5

，
所以弦长|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 2m 5 )2- 4(m2-1) 5

=

2 2 • 5-4m2

5

，
当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数与方程思想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目的基础知识，应熟练掌握．