【题目】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn , 且an2+an=2Sn , n∈N* .
(1)求a1及an;
(2)求满足Sn>210时n的最小值;
(3)令bn=4 ,证明:对一切正整数n,都有 + + ++ < .
【答案】
(1)解:∵数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且an2+an=2Sn,n∈N*.
∴当n=1时, ,且a1>0,解得a1=1,
∵an2+an=2Sn,①,∴ ,②
①﹣②,得: ,
整理,得:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0,
∵an>0,∴an﹣an﹣1=1,
∴数列{an}是首项和公差都为1的等差数列,
∴an=n.
(2)解:∵数列{an}是首项和公差都为1的等差数列,an=n.
∴Sn= ,
∵Sn>210,∴ ,
整理,得n2+n﹣420>0,解得n>20(n<﹣21舍),
∴满足Sn>210时n的最小值是21.
(3)证明:由题意得 ,则 ,
∴数列{ }是首项和公比都是 的等比数列,
∴ + + ++ = = .
故对一切正整数n,都有 + + ++ < .
【解析】(1)当n=1时, ,由此能求出a1=1,由an2+an=2Sn,得 ,从而(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0,进而数列{an}是首项和公差都为1的等差数列,由此能求出an=n.(2)求出Sn= ,由此能求出满足Sn>210时n的最小值.(3)由题意得 ,从而数列{ }是首项和公比都是 的等比数列,由此能证明对一切正整数n,都有 + + ++ < .
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.
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【题目】某沿海四个城市A,B,C,D的位置如图所示,其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80nmile,BC=40+30 nmile,AD=70 nmile,D位于A的北偏东75°方向.现在有一艘轮船从A出发向直线航行,一段时间到达D后,轮船收到指令改向城市C直线航行,收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度,则sinθ= .
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax(a>0),设 .
(1)判断函数h(x)=f(x)﹣g(x)零点的个数,并给出证明;
(2)首项为m的数列{an}满足:①an+1+an≠ ;②f(an+1)=g(an).其中0<m< .求证:对于任意的i,j∈N* , 均有ai﹣aj< ﹣m.
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【题目】已知函数f(x)=ex(x﹣b)(b∈R).若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0,则实数b的取值范围是( )
A.(﹣∞, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣ , )
D.( ,+∞)
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【题目】如图多面体ABCD中,面ABCD为正方形,棱长AB=2,AE=3,DE= ,二面角E﹣AD﹣C的余弦值为 ,且EF∥BD.
(1)证明:面ABCD⊥面EDC;
(2)若直线AF与平面ABCD所成角的正弦值为 ,求二面角AF﹣E﹣DC的余弦值.
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【题目】椭圆C: 过点P( ,1)且离心率为 ,F为椭圆的右焦点,过F的直线交椭圆C于M,N两点,定点A(﹣4,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若△AMN面积为3 ,求直线MN的方程.
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