Question

设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，q：实数x满足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∪q为真，p∩q为假，求实数x的取值范围；
（2）若a＞0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）首先求出不等式的解集，进一步利用真值表求出结果，注意分类讨论的应用．
（2）首先求出各个不等式的解集，进一步利用四种条件求出结果．

解答： 解：（1）p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，
所以：当a=1时，解得：1＜x＜3
q：实数x满足|x-3|＜1．
解得：2＜x＜4
p∪q为真，p∩q为假，
则：①p真q假
p为真时，1＜x＜3
q为假时，x≤2或x≥4
所以解得：2≤x＜3
②p假q真
p为假时，x≤1或x≥3
q为真时，2＜x＜4
所以解得：3≤x＜4
综上所述：2≤x＜4
所以x的取值范围为：2≤x＜4
（2）命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，a＞0
所以解得：a＜x＜3a
命题q：实数x满足|x-3|＜1．
解得：2＜x＜4
p是q的必要不充分条件，
所以：

a≤2 3a≥4

解得：

4

3

≤a≤2
所以a的取值范围为：

4

3

≤a≤2

点评：本题考查的知识要点：命题中真值表的应用，命题中四种条件的应用．属于基础题型．