Question

如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．
（Ⅰ）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；
（Ⅱ）证明：BD∥平面PEC；
（Ⅲ）求平面PEC与面PDC所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：由三视图知，此几何体底面是一个边长为4的正方形，两线段PA与EB垂直于底面ABCD，PA=4，EB=2，故以AB方向为X轴，以AD方向为Y轴，以AP方向为Z轴，给出图形中各点的坐标，
（Ⅰ）求出线AF的方向向量，与平面PCD法向量，由两者共线证AF⊥平面PCD；
（Ⅱ）取PC中点M，求证EM∥BD再由线面平行的判定定理证BD∥平面PEC；
（Ⅲ）求出平面PEC与面PDC的法向量，由公式求出锐二面角的大小即可．

解答：解：由三视图知，此几何体底面是一个边长为4的正方形，两线段PA与EB垂直于底面ABCD，PA=4，EB=2，故以AB方向为X轴，以AD方向为Y轴，以AP方向为Z轴，给出图形中各点的坐标，A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）
，P（0，0，4），E（4，0，2）
（Ⅰ）若F为PD的中点，则F（0，2，2），故

AF

=（0，2，2），

PC

=（4，4，-4），

CD

=（-4，0，0），令平面PCD的法向量为

n1

=(x，y，z)，则

PC  • n1 =0 CD •  n1 =0

，即

4x+4y-4z=0 -4x=0

，即

y=z x=0

，令z=1，得

n1

=(0，1，1)，故有

AF

=2

n1

，即AF与平面的法向量方向平行，∴AF⊥平面PCD；
（Ⅱ）取PC中点M，连接EM，则M（2，2，2），则

EM

=（-2，2，0），又

BD

=（-4，4，0），故

BD

=2

EM

，于是EM∥BD，又EM在面PEC内，BD不在面PEC内
∴BD∥平面PEC；
（Ⅲ）由（I），平面PCD的法向量为

n1

=(0，1，1)，
又

PE

=（4，0，-2），

EC

=（0，4，-2），令面PEC的法向量为

n2

=(x，y，z)，则

PE • n2 =0 EC • n2 =0

，即

4x-2z=0 4y-2z=0

，即z=2x=2y，令x=1，得y=1，z=2，故

n2

=(1，1，2)故锐二面角的余弦是cosθ=|

n1•n2

|n1||n2|

|=

3

2 3

=

3

2

故θ=60°
即平面PEC与面PDC所成的锐二面角的大小为60°

点评：本题考查二面角的平面角及求法，解题的关键是建立空间坐标系，利用向量法求证线面垂直，线面平行，以及求面面夹角，利用空间向量求解立体几何中的线面，面面位置关系及求线面角，二面角，是空间向量的重要应用，引入空间向量，大大降低了求解立体几何问题时的问题时的推理难度，使得思考变得容易，但此法也有不足，从解题过程可以看出，用空间向量法解立体几何问题，运算量不少，计算时要严谨，莫因运算出错导致解题失败．