Question

己知：函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上单凋递增，在（-1，2）上单调递减，不等式f（x）＞x²-4x+5的解集为（4，+∞）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数h（x）=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)，求h（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据函数的单调性可知f'（x）=3x²+2ax+b=0有两个根-1，2，求出a和b，然后根据不等式f（x）＞x²-4x+5的解集为（4，+∞）求出c，从而求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）先求出函数h（x）的解析式，然后讨论m的取值范围，根据导函数的符号与函数单调性的关系求出相应的单调区间，从而求出所求．

解答：解：（Ⅰ）在（-∞，-1），（2，+∞）上单凋递增，在（-1，2）上单调递减，
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有两个根-1，2
利用根与系数的关系可知a=-

3

2

，b=-6
∴f（x）=x³-

3

2

x²-6x+c，
∵不等式f（x）＞x²-4x+5的解集为（4，+∞）．
∴c=-11
∴f（x）=x³-

3

2

x²-6x-11，
 （Ⅱ）f'（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2），
∴h（x）=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)=（x+1）-（m+1）ln（x+m）（x＞-m且，x≠2）
 当m≤-2时，-m≥2，定义域：（-m，+∞），
 h'（x）＞0恒成立，h（x）在（-m，+∞）上单增；   
 当-2＜m≤-1时，定义域：（-m，2）∪（2，+∞）
  h'（x）恒成立，h（x）在（-m，2）与（2，+∞）上单增；
 当m＞-1时，-m＜1，定义域：（-m，2）∪（2，+∞）
 由 h'（x）＞0得x＞1，由h'（x）＜0 得x＜1．
  故在（1，2），（2，+∞）上单增；在（-m，1）上单减，
综上所述，当m≤-2时，h（x）在（-m，+∞）上单增；
当-2＜m≤-1时，h（x）在（-m，2）与（2，+∞）上单增；
当m＞-1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（-m，1）单减．

点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，函数与方程的综合运用，是一道综合题，同时考查了计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．