Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}的通项公式为c_n=2n，求数列{a_n•c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，且b₂=4．证明：数列{b_n}是等差数列，并求出其通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在a_n+1=2a_n+1两边同时加上1，构造出a_n+1+1=2（a_n+1），易证明数列{a_n+1}为等比数列．
（Ⅱ）结合分组法求和及错位相消法求和计算．
（Ⅲ）由已知可得出b_n+2-2b_n+1+b_n=0，继而{b_n}是等差数列，通项公式易求．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1（n∈N*）．a_n+1+1=2（a_n+1），----------（3分）
{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴an+1=2n．
即an=2n-1(n∈N*)．--------------（4分）
（II）∵an=2n-1，c_n=2n，∴ancn=2n(2n-1)
∴S_n=a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃+…+a_nc_n=2[（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）]-----（6分）
设  A=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①
则2A=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹②
①-②得-A=1×2+1×2²+1×2³+…+1×2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2
∴A=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2
∴Sn=(n-1)×2n+2+4-n(n+1)--------------（9分）
（Ⅲ）∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn，
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．　②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，--------------（11分）
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，③nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．                    ④
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)，∴{b_n}是等差数列．--------------（13分）
∵b₁=2，b₂=4，∴b_n=2n．--------------（15分）
（注：没有证明数列{b_n}是等差数列，直接写出b_n=2n，给2分）

点评：本题考查等比数列的判定、通项公式求解．数列求和，均属于数列中的必备知识、方法．考查变形构造、转化、计算能力．