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已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(Ⅰ)求证:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{cn}的通项公式为cn=2n,求数列{an•cn}的前n项和Sn
(Ⅲ)若数列{bn}满足4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn(n∈N*),且b2=4.证明:数列{bn}是等差数列,并求出其通项公式.
分析:(Ⅰ)在an+1=2an+1两边同时加上1,构造出an+1+1=2(an+1),易证明数列{an+1}为等比数列.
(Ⅱ)结合分组法求和及错位相消法求和计算.
(Ⅲ)由已知可得出bn+2-2bn+1+bn=0,继而{bn}是等差数列,通项公式易求.
解答:解:(Ⅰ)∵an+1=2an+1(n∈N*).an+1+1=2(an+1),----------(3分)
{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴an+1=2n
an=2n-1(n∈N*).--------------(4分)
(II)∵an=2n-1,cn=2n,∴ancn=2n(2n-1)
∴Sn=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn=2[(1×2+2×22+3×23+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)]-----(6分)
设  A=1×2+2×22+3×23+…+n×2n
则2A=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1
①-②得-A=1×2+1×22+1×23+…+1×2n-n×2n+1=
2(1-2n)
1-2
-n×2n+1
=(1-n)×2n+1-2
∴A=(n-1)×2n+1+2
Sn=(n-1)×2n+2+4-n(n+1)--------------(9分)
(Ⅲ)∵4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn,∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn
∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn,①2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1. ②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,--------------(11分)
即(n-1)bn+1-nbn+2=0,③nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.                    ④
④-③,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,
即bn+2-2bn+1+bn=0,∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),∴{bn}是等差数列.--------------(13分)
∵b1=2,b2=4,∴bn=2n.--------------(15分)
(注:没有证明数列{bn}是等差数列,直接写出bn=2n,给2分)
点评:本题考查等比数列的判定、通项公式求解.数列求和,均属于数列中的必备知识、方法.考查变形构造、转化、计算能力.
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已知数列{an}满足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若数列{bn}满足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,试证明数列bn-1是等比数列;
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn
(3)数列{an-bn}是否存在最大项,如果存在求出,若不存在说明理由.

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1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
则{an}的通项公式
 

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3
2
,且an=
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(1)求数列{an}的通项公式;
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(1)若a1=
54
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