Question

设常数a∈R，函数f（x）=

2x+a

2x-a

．
（1）当a=1时，判断并证明函数f（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）当a≥0时，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）当a≠0时，若存在区间[m，n]（m＜n），使得函数f（x）在[m，n]的值域为[2^m，2ⁿ]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的值域,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，利用函数单调性的定义，即可判断并证明函数f（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）当a≥0时，结合函数奇偶性的定义，讨论函数y=f（x）的奇偶性；
（3）当a≠0时，分类讨论，根据存在区间[m，n]（m＜n），使得函数f（x）在[m，n]的值域为[2^m，2ⁿ]，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f(x)=

2x+1

2x-1

=1+

2

2x-1

，
设x₁＞x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），则f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

       …（3分）
因为x₁＞x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），所以

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＜0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．              …（5分）
（2）因为f（x）=

2x+a

2x-a

，且a≥0，
①当a=0时，f（x）=1，故对于任意的实数x都有f（-x）=f（x），此时函数f（x）为偶函数；…（6分）
②当a=1时，f（x）=

2x+1

2x-1

（x≠0），
因为f（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

1+2x

1-2x

=-f（x），所以，此时函数f（x）为奇函数；      …（8分）
③当a≠0且a≠1时，由2^x-a≠0得x≠log₂a，函数的定义域为{x|x≠log₂a}，
所以，此时函数的定义域不关于原点对称，故函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
综上，当a=0时，函数f（x）为偶函数；
当a=1时，函数f（x）为奇函数；
当a≠0且a≠1时，函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数．                 …（10分）
（3）因为f(x)=

2x+a

2x-a

=1+

2a

2x-a

，
①当a＞0时，函数f（x）在（log₂a，+∞）和（-∞，log₂a）上单调递减，
由题意可得

1+ 2a 2m-a =2n 1+ 2a 2n-a =2m

，（*）
上述两式相减得

2a

2m-a

-

2a

2n-a

=

2a(2n-2m)

(2m-a)(2n-a)

=2n-2m，
即2a=（2^m-a）（2ⁿ-a），故

2a

2m-a

=2ⁿ-a，
代入（*）式得a=1，此时（2^m-1）（2ⁿ-1）=2，且m＜n＜0或0＜m＜n
此时（2^m-1）（2ⁿ-1）=2显然有解，故此时a=1．                        …（13分）
②当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增．
由题意可得m，n是方程1+

2a

2x-a

=2^x的两个不等的实根，
令t=2^x＞0，则方程t²-（a+1）t-a=0有两个不相等的正实根，
故

△=(a+1)2+4a＞0 a+1＞0 -a＞0

，解得-3+2

2

＜a＜0，
综上得实数a的取值范围是{1}∪(-3+2

2

，0)．                          …（16分）

点评：本题考查的知识点是函数的单调区间，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．