Question

设函数f（x）=alnx，g(x)=

1

2

x2．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x₀，使得f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+

1

g′(x0)

成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=4时，可得h(x)=4lnx-

1

2

x2，利用导数公式算出h′(x)=

4

x

-x，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；
（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）得a(x-lnx)≥

1

2

x2-x，再进行变量分离得a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，由此设y=

1 2 x2-x

x-lnx

并讨论其单调性得到ymin=-

1

2

，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；
（3）原不等式等价于alnx0-

a

x0

＞x0+

1

x0

，整理得x0-alnx0+

1+a

x0

＜0，设右边对应的函数为m（x），求得它的导数m'（x）=

(x-1-a)(x+1)

x2

，然后分a≤0、0＜a≤e-1和a＞e-1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（

e2+1

e-1

，+∞）．

解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时h(x)=4lnx-

1

2

x2，
由h′(x)=

4

x

-x＞0得-2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．
所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）
（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为alnx+2x≤(a+3)x-

1

2

x2，
化简得：a(x-lnx)≥

1

2

x2-x，
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，设y=

1 2 x2-x

x-lnx

，
由y′=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
∵当x∈（1，e）时x-1＞0，

1

2

x+1-lnx＞0，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．
由不等式有解，可得知a≥ymin=-

1

2

，即实数a的取值范围是[-

1

2

，+∞）…（10分）
（3）不等式f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+

1

g′(x0)

等价于alnx0-

a

x0

＞x0+

1

x0

，
整理得x0-alnx0+

1+a

x0

＜0，设m(x)=x-alnx+

1+a

x

，
则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x₀，使得m（x₀）＜0．
对m（x）求导数，得m′(x)=1-

a

x

-

1+a

x2

=

x2-ax-(1+a)

x2

=

(x-1-a)(x+1)

x2

，
因为x＞0，所以x+1＞0，令x-1-a=0，得x=1+a．…（12分）
①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜-2．
②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e-1时，m（x）在1+a处取得最小值，
令m（1+a）=1+a-aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得

a+1+1

a

＜ln(a+1)
考察式子

t+1

t-1

＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立
③当1+a＞e，即a＞e-1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞

e2+1

e-1

，
又因为e-1-

e2+1

e-1

=

-2e

e-1

＜0，所以a＞

e2+1

e-1

．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（

e2+1

e-1

，+∞）．…（16分）

点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．