Question

已知a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是公差为正的等差数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-

1

2

b_n（n∈N）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，若数列{c_n}的前n项和S_n，求证：S_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由韦达定理得a₂=3，a₅=9．由此利用等差数列的性质能求出a_n=2n-1；在T_n=1-

1

2

bn中，令n=1，得b₁=

2

3

．当n≥2时，b_n=

1

2

bn-1-

1

2

bn，由此能求出b_n=

2

3n

．
（2）由c_n=a_nb_n=（2n-1）•

2

3n

=

4n-2

3n

，利用错位相减法能证明S_n=2-

2n+2

3n

＜2．

解答： （1）解：∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是公差为正的等差数列，
∴

a2+a5=12 a2a5=27 d＞0

，解得a₂=3，a₅=9．
∴d=

a5-a2

3

=2，a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（n∈N^*）．
在T_n=1-

1

2

bn中，令n=1，得b₁=

2

3

．
当n≥2时，T_n=1-

1

2

bn，T_n-1=1-

1

2

bn-1，
两式相减得b_n=

1

2

bn-1-

1

2

bn．
∴

bn

bn-1

=

1

3

，n≥2．∴b_n=

2

3

(

1

3

)n-1=

2

3n

．（n∈N^*）．
（2）证明：c_n=a_nb_n=（2n-1）•

2

3n

=

4n-2

3n

，
∴S_n=2（

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

），①

1

3

Sn=2（

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n-1

）．②
①-②得

2

3

Sn=2[

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

]
=2[

1

3

+

2× 1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

]
=2（

1

3

+

1

3

-

1

3n

-

2n-1

3n+1

）
=

4

3

-

4n+4

3n+1

．
∴S_n=2-

2n+2

3n

＜2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．