Question

如图1,已知在△ABC中,=a,=b,=c.若a·b=b·c=c·a.求证:△ABC为正三角形.

图1

Answer 1

活动:教师引导学生回顾,向量具有二重性,一方面具有“形”的特点,因此有了几何运算;另一方面又具有一套优良的代数运算性质,因此又有了代数运算.对于这两种运算,前者难度大,灵活多变,对学生来说是个难点,后者学生感到熟悉,易于掌握,但应让学生明了,这两种方法都要掌握好,近几年高考题的解答都是以两种解法给出.本题给出的是三角形,对于某些几何命题的抽象的证明,自然可以转化为向量的几何运算问题来解决,请同学们在探究中要注意仔细体会,领悟其实质.教学中,教师要放手大胆地让学生自己去探究,鼓励学生从不同的角度去观察、去发现.真正做到一题多用,一题多变,串联知识,串联方法,使学生在探究过程中掌握孤零知识,提高思维能力,提高复习效率.

证法一:由题意,得a+b+c=0,∴c=-(a+b).

又∵b·c=c·a,∴c·(a-b)=0.

∴-a²+b²=0.∴|a|²=|b|²,即|a|=|b|.

同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c|.

∴△ABC为正三角形.

证法二:由题意得a+b+c=0,∴a=-b-c,b=-a-c.

∴a²=b²+c²+2b·c,b²=a²+c²+2a·c.

而b·c=c·a(已知),

∴a²-b²=b²-a².

∴a²=b².∴|a|²=|b|².

∴|a|=|b|.

同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c|.

∴△ABC为正三角形.

图2

证法三:如图2,以AB,BC为邻边作ABCD,则=a,=-,

∴=a-c.

又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.

∴b·=0.∴b⊥.

∴ABCD为菱形.∴AB=BC.同理可得BC=AC,

∴△ABC为正三角形.

证法四:取的中点E,连接AE,则

=(+)=(c-b),

∴·a=(c-b)·a=0.

∴⊥a.∴AB=AC.

同理可得BC=AC,

∴△ABC为正三角形.

点评:本题给出了四种证法,教师要善于引导学生进行一题多解,这是一种很有效的办法.数学教学中,一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段.通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系,提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力,逐步学会举一反三的本领,在教材安排的例题中,有相当一部分题目存在一题多解的情况,教师要引导学生善于挖掘.